Dudnienie

Przykładowy przebieg dudnienia (krzywa niebieska) jako złożenie fal o okresach T₁ i T₂.

Dudnienie – okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Obserwuje się je dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami.

W roku 1955 A.T. Forrester, R.A. Gudmundsen i P.O. Johnson obserwowali dudnienie światła pochodzącego z dwóch niezależnych źródeł światła widzialnego o prawie identycznej częstotliwości. Uzyskano częstotliwość dudnień w zakresie mikrofal.

Przykłady występowania:

• dudniący dźwięk powstający ze złożenia dwóch dźwięków źle zestrojonych instrumentów muzycznych;
• dźwięk (drgania) powstający ze złożenia dźwięku odbieranego bezpośrednio i odbitego od poruszającej się powierzchni (wskutek zjawiska Dopplera dźwięk odbity od ruchomej powierzchni jest odbierany jako dźwięk o zmienionej częstotliwości).

Za dudnienie uznaje się także okresowe zmiany amplitudy drgań w układzie dwóch słabo sprzężonych oscylatorów.

Dudnienie drgań harmonicznych

W przypadku dwóch drgań harmonicznych o częstościach ${\displaystyle \omega _{1},}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ i jednakowej amplitudzie, przebieg drgań można opisać funkcjami:

${\displaystyle \psi _{1}=A\,\sin(\omega _{1}t),}$

${\displaystyle \psi _{2}=A\,\sin(\omega _{2}t).}$

Przebieg powstały w wyniku dodania tych drgań:

${\displaystyle \psi =\psi _{1}+\psi _{2}}$

z sumowania funkcji trygonometrycznych wynika:

${\displaystyle \psi =A\left[\sin(\omega _{1}t)+\sin(\omega _{2}t)\right]=2\,A\;\cos \!\left({\frac {\omega _{1}t\!-\!\omega _{2}t}{2}}\right)\,\sin \!\left({\frac {\omega _{1}t\!+\!\omega _{2}t}{2}}\right)}$

lub po wprowadzeniu nowych oznaczeń:

${\displaystyle \psi =2\,A\;\cos(\omega _{m}t)\;\sin(\omega _{w}t),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega _{m}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}},}$

${\displaystyle \omega _{w}={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}.}$

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie, którego częstość jest równa średniej arytmetycznej częstości drgań składowych, zaś amplituda zmienia się znacznie wolniej, co można ująć matematycznie:

${\displaystyle \psi =B(t)\,\sin(\omega _{w}t),}$

gdzie:

${\displaystyle B(t)=2A\,\cos(\omega _{m}t).}$

Funkcja ${\displaystyle B(t)}$ przyjmuje na przemian wartości dodatnie i ujemne. Jej wartość bezwzględna ${\displaystyle |B(t)|}$ nosi nazwę obwiedni; jest to funkcja zmieniająca się z częstością ${\displaystyle 2\,\omega _{m},}$ a zatem równą różnicy częstości składanych drgań (nie zaś połowie tej różnicy).

Efektem fizycznym opisanego sumowania drgań jest to, że zachowują one swój szybkooscylujący charakter (z częstością ${\displaystyle \omega _{w}}$), a przy tym ich obwiednia zmienia się powoli w czasie, co dla dźwięku oznacza słyszalną, pulsacyjną modulację głośności z częstością ${\displaystyle 2\,\omega _{m}.}$

Wybrane zastosowania

Wykres sumy funkcji sin(x) i sin(0,95x), z zaznaczoną (kolor czarny) obwiednią o postaci 2 cos(0,025x)

Efekt dudnień jest wykorzystywany do:

• strojenia instrumentów muzycznych, ponieważ im dwie częstotliwości są sobie bliższe, tym dudnienie jest wyraźniejsze i znika dopiero przy idealnym dobraniu częstotliwości;
• zmiany częstości odbieranych drgań w odbiornikach fal radiowych (superheterodyna z mieszaczem);
• określania częstotliwości drgań lub fal poprzez sumowanie fali odebranej i wzorcowej, stosowane np. w radarach dopplerowskich;
• uzyskiwania tzw. różnicowych współtonów kombinacyjnych – popularny „bas akustyczny” w organach: współbrzmienie głosu 16′ i 10 2/3′ daje złudzenie głosu 32′.

Zobacz też

• dudnienie (akustyka)
• interferencja
• modulacja amplitudy

Linki zewnętrzne

• KonstantyK. Kostrzewski KonstantyK., Matematyczny kącik muzyczny IV: O tym, jak przydatne jest dudnienie, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-14]  (pol.).